Учёба в университетах является бесплатной
Бесплатной — значит бесплатной, то есть, в том случае, если вы поступили в государственный ВУЗ и учитесь на словацком языке очно, то вы не платите за учёбу ничего. Да, ещё раз: вы, житель Украины, за учёбу в ВУЗе  ( перечень вузов)  в Словакии не платите ничего, в отличие, например, от украинских ВУЗов.
За учёбу вы платите в случае, если:

• Учитесь заочно. Это подразумевает лекции в субботу и воскресенье, и другое время для сдачи экзаменов. Платите около 700-800 евро в год (в зависимости от специальности, цена всегда указана на официальном сайте университета).
• Учитесь на иностранном языке. Это значит, что официальным языком вашего обучения является, например, английский. Это не относится к языковым специальностям (переводчики, например). К сожалению, тут о цене ничего сказать не могу.
• Учитесь второй раз (в словацком университете). Образование, полученное у вас на родине или в любой другой стране – не в счёт. Цена такая же, как для заочников.
• Вас оставили на второй год. Вы не сдали несколько экзаменов, и должны учиться один дополнительный год, чтобы эти экзамены сдать. В этом случае, за каждый дополнительный год вы должны заплатить. Столько же, сколько платят заочники.
• Учитесь в частном ВУЗе. Обращаю внимание: бесплатно именно обучение в университете. За общежитие или другое жильё, питание и т.д. — конечно, нужно платить. Кроме этого, чтобы получить вид на жительство, нужно иметь определённую сумму денег на счету, пройти платный медосмотр (хорошо, что всего 1 раз) и иметь коммерческую страховку здоровья, что тоже недёшево.

Качество образования
Просто «ходить в институт» — не получится: нужно учиться. Результаты ваших экзаменов пропорциональны вашим усилиям к их подготовке. Ни о каких взятках речь не идёт. И никто не будет вытягивать вас на экзаменах ради хорошей отчётности кафедры.
Поступить в ВУЗ достаточно просто, но вот учиться — сложно, хотя тут зависит от специальности. Нагрузка на гуманитарных и связанных с творчеством специальностях — ощутимо меньше; на технических, медицинских и прочих «реальных» — гораздо выше. Кроме того, следует учитывать, что словаки учатся в школе 13-14 лет, поэтому инженерные специальности, медицинские, химические, биологические крайне сложны для наших выпускников, так как у них нет к моменту поступления в ВУЗ нужного уровня подготовки.
Помимо лекций, вы делаете огромное количество практических заданий, презентаций и проектов (не скачивая из интернета, а прилежно сидя в библиотеке, потому что все проверяется на плагиат). Читаете литературу, готовитесь к семинарам. Но это ваша личная задача, никто не контролирует, вы сами распределяете своё время. Помимо лекций и семинаров в университете постоянно происходят встречи и лекции с интересными людьми, конференции и семинары, которые дают возможность узнать что-то новое и, чаще всего – бесплатны. Кроме того, если участвуешь во всяких дополнительных мероприятиях, то можешь набрать дополнительные баллы, которые потом позволят, например, выбирать специализацию, ездить на учёбу в другие ВУЗы по обмену и т.п.
Возможности учиться в других ВУЗах Европы
Учёба в любом европейском университете подразумевает программы обмена студентами между университетами, Словакия – не исключение. При хорошей успеваемости поехать учиться в другой ВУЗ Европы на семестр по обмену — реально, просто и бесплатно, нужно только не полениться и собрать нужные документы, а также написать эссе. Вам ещё и грант дадут на обучение. Помимо программы ЕС по обмену студентами Erasmus (подробнее о ней можно прочесть в википедии) существуют и другие варианты. Чтобы понять, что это реально, следует знать, что в 2018 году по программе Erasmus училось по обмену более 300 тыс. студентов.
Кроме того, даже если вы не поехали по обмену — поездки на всякие выставки и конференции в другие страны Европы — не редкость.
Проживание
Стоимость проживания в общежитии — разная в разных общежитиях. Да и состояние этих общежитий — разное: от «советской общаги» до современных комнат.
Оплата за общежитие платится сразу за семестр, цена — до €70 в месяц.
Отношение к иностранным студентам со стороны преподавателей и студентов — нормальное, никакого негатива или даже просто отчуждения нет.